Лекция 18. Приложения определенного интеграла.
18.1. Вычисление площадей плоских фигур.
Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.
Для нахождения суммарной площади используется формула .
Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x 2 , x = 2.
Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:
18.2. Нахождение площади криволинейного сектора.
Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид = f(), где - длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси.
Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле
18.3. Вычисление длины дуги кривой.
y y = f(x)
S i y i
Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как 
.
Тогда длина дуги равна 
.
Из геометрических соображений: 
В то же время 
Тогда можно показать, что
Т.е. 
Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной, получаем
,
где х = (t) и у = (t).
Если задана пространственная кривая , и х = (t), у = (t) и z = Z(t), то
Если кривая задана в полярных координатах , то
, = f().
Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x 2 + y 2 = r 2 .
1 способ.
Выразим из уравнения переменную у. 
Найдем производную 
Тогда S = 2r. Получили общеизвестную формулу длины окружности.
2 способ.
Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r 2 cos 2 + r 2 sin 2 = r 2 , т.е. функция = f() = r, 
тогда
18.4. Вычисление объемов тел.
Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.
Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки х i разбиения отрезка . Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения функция Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно M i и m i .
Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны M i x i и m i x i здесь x i = x i - x i -1 .
Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно 
и 
.
При стремлении к нулю шага разбиения , эти суммы имеют общий предел:
Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:
Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично для сложных тел.
Пример: Найти объем шара радиуса R.
В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле 
.
Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) = 
.
Получаем объем шара:
Пример: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S.
При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x/H, где х – расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.
Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.
Отсюда получаем функцию площадей сечений: 
Находим объем пирамиды: 
18.5. Объем тел вращения.
Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке . Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения .
y = f(x)
Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса 
, то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:
18.6. Площадь поверхности тела вращения.
М i B
Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.
Разобьем дугу АВ на n частей точками M 0 , M 1 , M 2 , … , M n . Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты x i и y i . При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна P i . Эта площадь может быть найдена по формуле:
Здесь S i – длина каждой хорды.
Применяем теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа
) к отношению 
.
1. Площадь плоской фигуры.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной неотрицательной функцией f (x) , осью абсцисс и прямыми x = a , x = b , определяется как S = ∫ a b f x d x .
Площадь криволинейной трапеции
Площадь фигуры, ограниченной функцией f (x) , пересекающей ось абсцисс, определяется формулой S = ∑ i: f x ≥ 0 ∫ x i - 1 x i f x d x - ∑ i: f x < 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где x i – нули функции. Другими словами, чтобы вычислить площадь этой фигуры, нужно разбить отрезок нулями функции f (x) на части, проинтегрировать функцию f по каждому из получившихся промежутков знакопостоянства, сложить отдельно интегралы по отрезкам, на которых функция f принимает разные знаки, и вычесть из первого второе.
2. Площадь криволинейного сектора.
Площадь криволинейного сектора Рассмотрим кривую ρ = ρ (φ) в полярной системе координат, где ρ (φ) – непрерывная и неотрицательная на [α; β] функция. Фигура, ограниченная кривой ρ (φ) и лучами φ = α , φ = β , называется криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора равна S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ .
3. Объем тела вращения.
Объем тела вращения
Пусть тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной на отрезке функцией f (x) . Его объем выражается формулой V = π ∫ a b f 2 x d x .
К задаче о нахождении объема тела по площади поперечного сечения
Пусть тело заключено между плоскостями x = a и x = b , а площадь его сечения плоскостью, проходящей через точку x , – непрерывная на отрезке функция σ (x) . Тогда его объем равен V = ∫ a b σ x d x .
4. Длина дуги кривой.
Пусть задана кривая r → t = x t , y t , z t Тогда длина ее участка, ограниченного значениями t = α и t = β выражается формулой S = ∫ α β x ′ t 2 + y ′ t 2 + z ′ t 2 dt .
Длина дуги плоской кривой
В частности, длина плоской кривой, задаваемой на координатной плоскости OXY
уравнением y = f (x)
, a ≤ x ≤ b
, выражается формулой
S =
∫
a
b
1 +
f
′
x
2
dx
.
5. Площадь поверхности вращения.
Площадь поверхности вращения Пусть поверхность задается вращением относительно оси OX графика функции y = f (x) , a ≤ x ≤ b , и функция f имеет непрерывную производную на этом отрезке. Тогда площадь поверхности вращения определяется формулой Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f ′ x 2 d x .
Работа переменной силы
Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(x), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (a < b), находится по формуле (см. п. 36).
Пример 41.10 Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?
Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т. е. F = kх, где k - коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растягивает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = k*0,01, откуда k = 10000; следовательно,F = 10000х.
Искомая работа на основании формулы (41.10) равна
Пример 41.11. Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты Н м и радиусом основания R м.
Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна р h. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова.
Для решения поставленной задачи применим схему II (метод дифференциала). Введем систему координат так, как указано на рисунке 193.
1. Работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя жидкости толщиной x (0 !!!< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А0).
2. Находим главную часть приращения ΔА при изменении х на величину Δх = dx, т. е. находим дифференциал dA функции А(х).
Ввиду малости dx считаем, что «элементарный» слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара) (см. рис. 193). Тогда dA = dp*x, где dp - вес этого слоя; он равен g *gdv , где g - ускорение свободного падения, g - плотность жидкости, dv - объем «элементарного» слоя жидкости (на рисунке он выделен), т. е. dp = ggdv . Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен πR2 dx , где dx - высота цилиндра (слоя), πR2 - площадь его основания, т. е. dv=πR2 dx.
Таким образом, dp=ggπR2 dx и dA = ggπR2dx*x.
3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н, находим
Путь, пройденный телом
Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v=v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от t1 до t2.
Решение: Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении «скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени», т. е. . Отсюда следует, что dS = v(t)dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от t1 до t2, получаем
Отметим, что эту же формулу можно получить, пользуясь схемой I или II применения определенного интеграла.
Пример 41.12. Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t) = 10t + 2 (м/с).
Решение: Если v(t)=10t+2 (м/с), то путь, пройденный телом от начала движения (t=0) до конца 4-й секунды, равен
Давление жидкости на вертикальную пластинку
По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а высотой - глубину ее погружения от свободной поверхности жидкости, т. е. Р = g*g*S*h, где g - ускорение свободного падения, g- плотность жидкости, S - площадь пластинки, h - глубина ее погружения.
По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах.
Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная линиями х = а, х = b, у1 = f1(x) и у2=ƒ2(х); система координат выбрана так, как указано на рисунке 194. Для нахождения давления Р жидкости на эту пластину применим схему II (метод дифференциала).
1. Пусть часть искомой величины Р есть функция от х: р=р(х), т. е. р=р(х) - давление на часть пластины, соответствующее отрезку [а; х] значений переменной х, где х є [а; b] (р(а)=0,р(b) = Р).
2. Дадим аргументу х приращение Δх = dx. Функция р(х) получит приращение Δр (на рисунке - полоска-слой толщины dx). Найдем дифференциал dp этой функции. Ввиду малости dx будем приближенно считать полоску прямоугольником, все точки которого находятся на одной глубине х, т. е. пластинка эта - горизонтальная.
Тогда по закону Паскаля 
3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = В, получим
Пример 41.13. Определить величину давления воды на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус R, а центр О находится на свободной поверхности воды (см. рис. 195).
Решение: Воспользуемся полученной формулой для нахождения давления жидкости на вертикальную пластинку. В данном случае пластинка ограничена линиями х = 0, х=R. Поэтому
Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек M1 (x1; y1), М2(х2; у2),..., Мn(хn; уn) соответственно с массами m1, m2,... ...,mn.
Статическим моментом Sx системы материальных точек относительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (т. е. на расстояния этих точек от оси Ох):
Аналогично определяется статический момент Sy этой системы относительно оси 
Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кривой, то для выражения статического момента понадобится интегрирование.
Пусть у = ƒ(х) (a≤x≤b) - это уравнение материальной кривой АВ. Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью g (g = const).
Для произвольного х є [а; b] на кривой АВ найдется точка с координатами (х;у). Выделим на кривой элементарный участок длины dl, содержащий точку (х;у). Тогда масса этого участка равна g dl. Примем этот участок dl приближенно за точку, отстоящую от оси Ох на расстоянии у. Тогда дифференциал статического момента dSx («элементарный момент») будет равен gdly, т. е. dSx = gdlу (см. рис. 196).
Отсюда следует, что статический момент Sx кривой АВ относительно оси Ох равен
Аналогично находим Sy:
Статические моменты Sx и Sy кривой позволяют легко установить положение ее центра тяжести (центра масс).
Центром тяжести материальной плоской кривой у = ƒ(х), х Î называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу m заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен статическому моменту всей кривой у = ƒ (х) относительно той же оси. Обозначим через С(хс;ус) центр тяжести кривой АВ.
Из определения центра тяжести следуют равенства 
Отсюда 
или
Пример 41.14. Найти центр тяжести однородной дуги окружности x^2+y^2=R^2, расположенной в первой координатной четверти (см. рис. 197).
Решение: Очевидно, длина указанной дуги окружности равна πR/2, т. е. l=πR/2. Найдем статический момент ее относительно оси Ох. Так как уравнение дуги есть
Стало быть,
Так как данная дуга симметричнаотносительно биссектрисы первого координатного угла, то хс=ус=2R/π. Итак, центр тяжести имеет координаты
Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры
Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченная кривой у = ƒ(х) 0 и прямыми у = 0, х = a, x = b (см. рис. 198).
Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна (g = const). Тогда масса «всей пластинки равна g * S, т. е 
Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоугольником.
Тогда масса его равна gydx. Центр тяжести С пря моугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка С отстоит от оси Ох на 1/2*у, а от оси Оу на х (приближенно; точнее на расстоянии х+1/2∆х). Тогда для элементарных статических моментов относительно осей Ох и Оу выполнены соотношения
Следовательно, 
По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты центра тяжести плоской фигуры (пластинки) через С(хс; ус), что m хс=Sy, m ус=Sx. Отсюда
Пример 41.15. Найдем координаты центра тяжести полукруга х^2+у^2≤R^2, у≥0 (g=const) (см. рис. 199).
Решение: Очевидно (ввиду симметрии фигуры относительно оси Оу), что хс=0. Площадь полукруга равна Находим Sx:
Стало быть, 
Итак, центр тяжести имеет координаты
Определенный интеграл (ОИ) широко используется в практических приложениях математики и физики.
В частности, в геометрии с помощью ОИ находят площади простых фигур и сложных поверхностей, объемов тел вращения и тел произвольной формы, длин кривых на плоскости и в пространстве.
В физике и теоретической механике ОИ применяют для вычисления статических моментов, масс и центров масс материальных кривых и поверхностей, для вычисления работы переменной силы по криволинейному пути и др.
Площадь плоской фигуры
Пусть некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ сверху ограничена кривой $y=y_{1} \left(x\right)$, снизу -- кривой $y=y_{2} \left(x\right)$, а слева и справа вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$ соответственно. В общем случае площадь такой фигуры выражается с помощью ОИ $S=\int \limits _{a}^{b}\left(y_{1} \left(x\right)-y_{2} \left(x\right)\right)\cdot dx $.
Если же некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ справа ограничена кривой $x=x_{1} \left(y\right)$, слева -- кривой $x=x_{2} \left(y\right)$, а снизу и сверху горизонтальными прямыми $y=c$ и $y=d$ соответственно, то площадь такой фигуры выражается с помощью ОИ $S=\int \limits _{c}^{d}\left(x_{1} \left(y\right)-x_{2} \left(y\right)\right)\cdot dy $.
Пусть плоская фигура (криволинейный сектор), рассматриваемая в полярной системе координат, образована графиком непрерывной функции $\rho =\rho \left(\phi \right)$, а также двумя лучами, проходящими под углами $\phi =\alpha $ и $\phi =\beta $ соответственно. Формула для вычисления площади такого криволинейного сектора имеет вид: $S=\frac{1}{2} \cdot \int \limits _{\alpha }^{\beta }\rho ^{2} \left(\phi \right)\cdot d\phi $.
Длина дуги кривой
Если на отрезке $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ кривая задана уравнением $\rho =\rho \left(\phi \right)$ в полярной системе координат, то длина её дуги вычисляется с помощью ОИ $L=\int \limits _{\alpha }^{\beta }\sqrt{\rho ^{2} \left(\phi \right)+\rho "^{2} \left(\phi \right)} \cdot d\phi $.
Если на отрезке $\left$ кривая задана уравнением $y=y\left(x\right)$, то длина её дуги вычисляется с помощью ОИ $L=\int \limits _{a}^{b}\sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx $.
Если на отрезке $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ кривая задана параметрически, то есть $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$, то длина её дуги вычисляется с помощью ОИ $L=\int \limits _{\alpha }^{\beta }\sqrt{x"^{2} \left(t\right)+y"^{2} \left(t\right)} \cdot dt $.
Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений
Пусть необходимо найти объем пространственного тела, координаты точек которого удовлетворяют условиям $a\le x\le b$, и для которого известны площади сечений $S\left(x\right)$ плоскостями, перпендикулярными оси $Ox$.
Формула для вычисления объема такого тела имеет вид $V=\int \limits _{a}^{b}S\left(x\right)\cdot dx $.
Объем тела вращения
Пусть на отрезке $\left$ задана неотрицательная непрерывная функция $y=y\left(x\right)$, образующая криволинейную трапецию (КрТ). Если вращать эту КрТ вокруг оси $Ox$, то образуется тело, называемое телом вращения.
Вычисление объема тела вращения является частным случаем вычисления объема тела по известным площадям его параллельных сечений. Соответствующая формула имеет вид $V=\int \limits _{a}^{b}S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _{a}^{b}y^{2} \left(x\right)\cdot dx $.
Пусть некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ сверху ограничена кривой $y=y_{1} \left(x\right)$, снизу -- кривой $y=y_{2} \left(x\right)$, где $y_{1} \left(x\right)$ и $y_{2} \left(x\right)$ -- неотрицательные непрерывные функции, а слева и справа вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$ соответственно. Тогда объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси $Ox$, выражается ОИ $V=\pi \cdot \int \limits _{a}^{b}\left(y_{1}^{2} \left(x\right)-y_{2}^{2} \left(x\right)\right)\cdot dx $.
Пусть некоторая плоская фигура в декартовой прямоугольной системе координат $xOy$ справа ограничена кривой $x=x_{1} \left(y\right)$, слева -- кривой $x=x_{2} \left(y\right)$, где $x_{1} \left(y\right)$ и $x_{2} \left(y\right)$ -- неотрицательные непрерывные функции, а снизу и сверху горизонтальными прямыми $y=c$ и $y=d$ соответственно. Тогда объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси $Oy$, выражается ОИ $V=\pi \cdot \int \limits _{c}^{d}\left(x_{1}^{2} \left(y\right)-x_{2}^{2} \left(y\right)\right)\cdot dy $.
Площадь поверхности тела вращения
Пусть на отрезке $\left$ задана неотрицательная функция $y=y\left(x\right)$ с непрерывной производной $y"\left(x\right)$. Эта функция образует КрТ. Если вращать эту КрТ вокруг оси $Ox$, то она сама образует тело вращения, а дуга КрТ -- его поверхность. Площадь поверхности такого тела вращения выражается формулой $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _{a}^{b}y\left(x\right)\cdot \sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx $.
Предположим, что кривую $x=\phi \left(y\right)$, где $\phi \left(y\right)$ -- заданная на отрезке $c\le y\le d$ неотрицательна функция, вращают вокруг оси $Oy$. В этом случае площадь поверхности образованного тела вращения выражается ОИ $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _{c}^{d}\phi \left(y\right)\cdot \sqrt{1+\phi "^{2} \left(y\right)} \cdot dy $.
Физические приложения ОИ
- Для вычисления пройденного пути в момент времени $t=T$ при переменной скорости движения $v=v\left(t\right)$ материальной точки, которая начала движение в момент времени $t=t_{0} $, используют ОИ $S=\int \limits _{t_{0} }^{T}v\left(t\right)\cdot dt $.
- Для вычисления работы переменной сили $F=F\left(x\right)$, приложенной к материальной точке, перемещающейся по прямолинейному пути вдоль оси $Ox$ от точки $x=a$ до точки $x=b$ (направление действия силы совпадает с направлением движения) используют ОИ $A=\int \limits _{a}^{b}F\left(x\right)\cdot dx $.
- Статические моменты относительно координатных осей материальной кривой $y=y\left(x\right)$ на промежутке $\left$ выражаются формулами $M_{x} =\rho \cdot \int \limits _{a}^{b}y\left(x\right)\cdot \sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx $ и $M_{y} =\rho \cdot \int \limits _{a}^{b}x\cdot \sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx $, где линейная плотность $\rho $ этой кривой считается постоянной.
- Центр масс материальной кривой -- это точка, в которой условно сосредоточена вся её масса таким образом, что статические моменты точки относительно координатных осей равны соответствующим статическим моментам всей кривой в целом.
- Статические моменты материальной плоской фигуры в виде КрТ относительно координатных осей выражаются формулами $M_{x} =\frac{1}{2} \cdot \rho \cdot \int \limits _{a}^{b}y^{2} \left(x\right)\cdot dx $ и $M_{y} =\rho \cdot \int \limits _{a}^{b}x\cdot y\left(x\right)\cdot dx $.
- Координаты центра масс материальной плоской фигуры в виде КрТ, образованной кривой $y=y\left(x\right)$ на промежутке $\left$, вычисляют по формулам $x_{C} =\frac{\int \limits _{a}^{b}x\cdot y\left(x\right)\cdot dx }{\int \limits _{a}^{b}y\left(x\right)\cdot dx } $ и $y_{C} =\frac{\frac{1}{2} \cdot \int \limits _{a}^{b}y^{2} \left(x\right)\cdot dx }{\int \limits _{a}^{b}y\left(x\right)\cdot dx } $.
Формулы для вычисления координат центра масс плоской кривой имеют вид $x_{C} =\frac{\int \limits _{a}^{b}x\cdot \sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx }{\int \limits _{a}^{b}\sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx } $ и $y_{C} =\frac{\int \limits _{a}^{b}y\left(x\right)\cdot \sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx }{\int \limits _{a}^{b}\sqrt{1+y"^{2} \left(x\right)} \cdot dx } $.